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PROBLEMAS ONDAS

El período de un movimiento ondulatorio que se propaga por el eje de abscisas es de 3×10-3 s. La distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es p/2 vale 30 cm. Calcular: a) La longitud de onda. b) La velocidad de propagación.

La diferencia de fase de dos puntos que distan una longitud de onda es 2p, luego:

La velocidad de propagación de la onda es:

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4. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es Y(x, t) = 0,001 sen(314t+62,8x), escrita en el SI. a) ¿En qué sentido se mueve la onda? b) ¿Cuál es su velocidad? c) ¿Cuál es la longitud de onda, frecuencia y periodo? d) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda? e) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad y aceleración de una particula de la cuerda que se encuentre en el punto x = – 3 cm?

El sentido en que se propaga una onda de función: 0,001 sen(314t±62,8x) es, debido al signo+, el sentido negativo del eje X.

El período, frecuencia, velocidad de propagación y longitud de onda se obtienen de dicha función:

De k = 2p/l =62,8  

El desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda viene dado por la amplitud de la función Y(x, t). Es decir: A = 0,001 m.

La función de onda de una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = 0,03 m es:

La ecuación de su velocidad:

y la de su aceleración:

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5. Escribir una función que interprete la propagación de una onda que se mueve hacia la derecha a lo largo de una cuerda con velocidad de 10 ms-1, frecuencia de 60 hertz y amplitud 0,2 m.

La función de onda, en general, viene dada por: y(z, t) = A sen (wt – kz) siendo en este caso:

w = 2pn = 120p rad×s-1 = 377 rad×s-1

A = 0,2 m.

Sustituyendo estos valores en y(z, t) resulta:

y(z, t) = 0,2 sen (377t – 37,68z).

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6. La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda viene dada por y(x, t) =10 sen(2pt – px/0,10), escrita en el SI. Hallar: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La velocidad y aceleración máxima de las partículas de la cuerda.

Considerando la ecuación general de la cuerda:

e identificando términos se obtiene:

 

 

 

La velocidad de propagación de la onda resulta entonces igual a:

La velocidad con que se mueve una partícula cualquiera de la cuerda es:

siendo su valor máximo cuando el coseno se haga la unidad. Es decir: 20p ms-1.

En cuanto a la aceleración es:

y su valor máximo: 40p2 ms-2

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7. Una onda sinusoidal transversal que se propaga de derecha a izquierda tiene una longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de propagación de 200 ms-1 Hallar: a) La ecuación de la onda. b) La velocidad transversal máxima de un punto alcanzado por la vibración. c) Aceleración transversal máxima de un punto del medio.

 

a) La ecuación de la onda, suponiendo que la dirección de propagación es el eje X y que la de vibración es el eje Y, es:

b) La velocidad de un punto del medio es:

siendo su valor máximo: 80p ms-1

c) En cuanto a la aceleración:

y su valor máximo: 1600p2 ms-2.

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8. Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte horizontal en el sentido negativo del eje de las x, siendo 20 cm la distancia entre dos puntos que están en fase. El foco emisor, fijo al resorte, vibra con una frecuencia de 25 Hz y una amplitud de 3 cm (se supone que no hay amortiguamiento). Encontrar: a) La velocidad con que se propaga la onda. b) La ecuación de onda sabiendo que el foco emisor se encuentra en el origen de coordenadas y que en t = 0, y(x, t) = 0. c) La velocidad y aceleración máximas de una partícula cualquiera del resorte.

a) La velocidad de propagación de la onda es: v = ln = 20×10-2×25 = 5 ms-1

b) Al ser A = 3×10-2 m y n = 25 Hz, la ecuación de onda escrita en el SI es:

c) La velocidad de un punto cualquiera del resorte vale:

y la aceleración de un punto cualquiera del resorte:

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10. Dos movimientos ondulatorios coherentes de frecuencia 640 hertz, se propagan por un medio con la velocidad de 30 ms-1. Hallar la diferencia de fase con que interfieren en un punto que dista de los orígenes de aquellos respectivamente 25,2 y 27,3 m.

La función de onda de cada movimiento viene dada por:

La diferencia de fase entre estos dos movimientos será entonces:

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13. La ecuación de una onda transversal en una cuerda es y = 1,75 sen p (250 t + 0,400 x) estando las distancias medidas en cm y el tiempo en segundos. Encontrar a) la amplitud, longitud de onda, la frecuencia, período y velocidad de propagación b) la elongación de la cuerda para t=0,0020 s y 0,0040 s c) está la onda viajando en la dirección positiva o negativa del eje x.

La ecuación de una onda que se desplaza de derecha a izquierda es:

a) Comparando:

b) Sustituyendo:

t = 0,0020 s; y = 1,75 sen(250·0,0020 + 0,400 x) = 1,75 sen (0,5 + 0,400 x)

t = 0,0040 s; y = 1,75 sen(250·0,0040 + 0,400 x) = 1,75 sen (1 + 0,400 x)

Ambas elongaciones dependen de la posición x sobre la cuerda.

c) La onda viaja de derecha a izquierda

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15. Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuación y = 5 senpx/3 sen 40pt (x en m y t en s). a) Hallar la amplitud y velocidad de fase de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha vibración. b) Distancia entre nodos. c) Velocidad de una partícula de la cuerda situada en x = 1,5 m cuando t = 9/8 s.

a) Una onda de este tipo resulta de la superposición de dos movimientos ondulatorios:

de igual frecuencia, amplitud y vector k, propagándose en sentidos opuestos.

Teniendo en cuenta que la forma general de la ecuación de la onda resultante de la superposición es:

identificando, resulta:

Por otra parte, desarrollando la expresión:

e identificando es:

La velocidad de fase será:

b) La distancia entre nodos es:

c) La velocidad de las partículas de la cuerda se obtiene derivando respecto del tiempo la ecuación de la onda. Es decir:

La velocidad de la partícula considerada en el instante t = 9/8 s es entonces:

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16. Dos movimientos ondulatorios coherentes de frecuencia 640 hertz, se propagan por un medio con la velocidad de 30 ms-1. Hallar la diferencia de fase con que interfieren en un punto que dista de los orígenes de aquéllos respectivamente 25,2 y 27,3 m.

La función de onda de cada movimiento viene dada por:

La diferencia de fase entre estos dos movimientos será entonces:

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17. Dos ondas que se propagan en una cuerda en la misma dirección tienen una frecuencia de 100 hertz, longitud de onda de 0,01 m y amplitud de 2 cm. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante si las ondas originales están desfasadas en p/3?

La amplitud de la onda resultante de la interferencia viene dada por:

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18. Una cuerda con ambos extremos fijos vibra con su modo fundamental. Las ondas tienen una velocidad de 32 m/s y una frecuencia de 20 Hz. la amplitud de la onda estacionaria en su antinodo es 1,20 cm a) Calcular la amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de a) 80 cm b) 40 cm y c) 20 cm del extremo izquierdo de la cuerda.

 

La onda resultante es:

La amplitud en un antinodo es la máxima A = 1,20

y la ecuación de la onda

La amplitud es:

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CUESTIONES

C.1. Si en la expresión Y(t) = A sen(wt+j) en lugar de la función seno escribimos la función coseno, ¿se modificaría en algo el modelo físico?, ¿por qué?

No, porque si en la función Y(t) = A sen(wt+j) sustituimos la función seno por la función coseno resultaria:

 

La función Y'(t) representa el mismo movimiento que la Y(t). Sólo se diferencian en la fase que para t = 0, Y(t) = A sen j, mientras que

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C.2. Coge un recipiente de gran superficie e introduce el dedo varias veces para producir ondas circulares ¿Qué ocurre con la onda si metes el dedo con mayor frecuencia?

Como l = v·f la longitud de onda aumenta ya que la velocidad se mantiene constante.

 

 

La función Y'(t) representa el mismo movimiento que la Y(t). Sólo se diferencian en la fase que para t = 0, Y(t) = A sen j, mientras que